Niniejszy tekst o analizie rozmaitości Riemanna stanowi gruntowne wprowadzenie do zagadnień poruszanych w zaawansowanych monografiach badawczych dotyczących teorii indeksów Atiyaha-Singera. Tematem przewodnim jest badanie przepływu ciepła związanego z Laplace'em na formach różniczkowych. Zapewnia to ujednolicone traktowanie teorii Hodge'a i supersymetrycznego dowodu twierdzenia Cherna-Gaussa-Bonneta. W szczególności istnieje staranna obróbka jądra ciepła dla funkcji Laplace'a. Twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera i jego zastosowania są rozwijane (bez kompletnych dowodów) metodą równania ciepła. Omówiono również funkcje Zeta dla Laplace'a i torsji analitycznej, a także przedstawiono niedawno odkryty związek między teorią indeksów a torsją analityczną. Tekst jest skierowany do studentów, którzy po raz pierwszy mieli kurs rozmaitości różniczkowalnych i stosowana geometria Riemanna jest rozwijana od podstaw. Jest ponad 100 ćwiczeń z podpowiedziami. Język: angielski